反直觉的高维空间

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作者在«The Art of Doing Science and Engineering: Learning to Learn»一书中提到了这样一个例子: 假设在一个以原点为中心的\(4 \times 4 \times ... \times 4\)立方体中的\((\pm1, \pm1, ..., \pm1)\)位置有半径为1的球。 现在原点处放置一个与以上小球相切的球,问这个球的半径是多少。

书中作者给出了一个二维情况下的示意图(figure 1):
figure-1.png

figure 1

根据二维和三维下的情况,我们可以得出在原点处的小球半径为\(\sqrt{n} - 1\), 这里\(n\)是空间的维度。

figure-1.png

figure 2

作者接着提到,如果令\(n = 10\), 那么原点出的小球半径将会超过2,也就是说原点处的小球会跑到立方体的外面去。(以下称原点处的小球为蓝球,单位球为黑球)

初次遇到这个结论,令人感到十分惊奇。这里产生惊奇的主要原因是直觉上蓝球被黑球包围,黑球又被放在立方体中,所以蓝球可以延伸出立方体让人意外、是反直觉的。

另外一个比较有意思的事情是这一惊奇的来源。理论上讲,我们并没有任何关于高阶空间的直观体验,所以按理说也不应该有任何关于高阶空间的直觉。如果我们头脑中一点关于高阶空间的概念都没有,按理说不应该感到惊奇。看到作者给出的这个例子之后,我们的反应似乎更应该是“脑袋空空,有如看天书一般,根本不知道作者在说什么”。

我们能够感到惊奇显然是因为被灌输了一些概念。对于我来说,这是我第一次遇到这样的讨论,之前也没有任何相关经验,所以基本可以肯定,作者在这里耍了些“花招”。

在问题描述的准备阶段,作为参照作者提到了二维和三维中的例子,但是作者却只具体地画出了二维的图像。不知作者在此处是否有意为之。当然仅提供二维的图像也是可以理解的,毕竟三维的图像不好画。通过这张图,作者有意无意地制造出这样一种印象即小球被大球包围,大球又在立方体之中,所以小球也应该在立方体之中。不仅如此,作者甚至通过强调球体是convex的来加强这一印象。

但是高维和二维之间有个区别,并且这个区别在三维的时候就已经十分明显。实际上如果把作者提供的二维的图当做三维空间中从\(z\)轴往下看的俯视图的话,我们就会发现在三维空间里虽然小球被大球包围,但是这样的包围是有空隙的。换句话说,在三维空间里,我们从外围是可以看得见被包围的小球的。如果作者强调这些空隙而非球体的凹凸性,也许我们就并不会感到那么的惊奇了。

figure-1.png

figure 3

高维确实是反直觉却又十分奇妙的世界。但是经过一段分析之后,那种初次看到结论的惊奇似乎又少了几分。这个例子可以说也是对作者之前在书中提到的关于逻辑上的惊奇(logical surprise)是否存在这个问题的一个回应。

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